1. 研究目的与意义
巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有#8220;长度#8221;的线性空间, 泛函分析研究的基本对象之一.Banach空间理论还是泛函分析的主要组成分, 是泛函分析涵盖的其他三个主要研究方向:算子理论，应用泛函分析以及Banach代数的理论基础. 而Baire定理和共鸣定理或Banach-Steinhaus定理又是最常用的定理，它们的现代数学的许多分支有着重要的应用.
2. 研究内容和预期目标
1.Banach空间的概念与性质;2.Baire定理;3.共鸣定理或Banach-Steinhaus定理及其证明;4.共鸣定理的应用(如讨论Fourier级数的收敛性,等等).
3. 国内外研究现状
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材.从魏尔斯特拉斯,K.(T.W.)以来,人们久已十分关心闭区间[a,b]上的连续函数以及它们的一致收敛性.甚至在19世纪末,G.阿斯科利就得到[a,b]上一族连续函数之列紧性的判断准则,后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中.1909年里斯,F.(F.)给出[0,1]上连续线性泛函的表达式,这是分析学历史上的重大事件.还有一个极重要的空间,那就是由所有在[0,1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间.在1910~1917年,人们研究它的种种初等性质;其上连续线性泛函的表示,则照亮了通往对偶理论的道路.人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间,并且引进全连续算子的概念.当然还该想到希尔伯特空间.正是基于这些具体的,生动的素材,巴拿赫,S.与维纳,N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念,并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论.由于其在数学和其他学科中的广泛运用.在20世纪30年代就得到了很大的发展.并很快成为一门独立的学科.20世纪60年代以后,不仅Banach空间理论本身有了深入的发展,更值得注意的是它在量子力学,物理学等许多领域都获得了广泛的应用,已经成为自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具.
4. 计划与进度安排
2022年12月31日前查阅相关资料,了解毕业设计的基本内容;2022年1月7日前了解Banach空间的概念与性质;2022年1月14日前了解Baire定理;2022年1月21日前了解共鸣定理或Banach-Steinhaus定理及其证明;2022年1月28日前了解共鸣定理的应用(如讨论Fourier级数的收敛性,等等);2022年3月18日前完成初稿和中期检查工作;2022年4月30日前完成论文修改,定稿,外文文献翻译工作;2022年5月25日前完成答辩环节工作.
5. 参考文献
[1]夏道行等.实变函数论与泛函分析.2版.北京:高等教育出版社,1985.[2]江泽坚等.实变函数论.2版.北京：高等教育出版社,1994.[3]王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要.2版.北京:高等教育出版社,1992.[4]周民强.实变函数.第2版.北京:北京大学出版社,1995.[5]陈建功.实函数论.北京:科学出版社,1978.[6]汪林.实分析中的反例.北京:高等教育出版社,1989.[7]程民德,邓东皋,龙瑞麟.实分析.北京:高等教育出版社,1993.[8]国防科技大学应用数学教研室.实变函数论习题解答.长沙:湖南科学技术出版社,1980.[9]徐深林,薛春华.数学分析(第一册).北京:清华大学出版社,2005.[10] 徐深林,薛春华.数学分析(第二册).北京:清华大学出版社,2006.[11] 徐深林,金亚东,薛春华.数学分析(第三册).北京:清华大学出版社,2007.[12]Graves L M. The Theory of Functions of Real Variables. New York: McGraw-Hill,New York: 1946.[13]Torchinsky A.Real Variables.NewYork:Addison-Wesley Pub.Comp.Inc.,1988.[14]Rudin W.Real and ComplexAnalysis.sec.Edition.New York:Mcgraw-Hill Book Comp.,1974.[15]Rudin W.Functional Analysis.NewYork:Mcgraw-Hill Book Comp.,1973.
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