1. 研究目的与意义
常微分方程是 17 世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一． 在历史上，牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆的; 亚当斯和勒威耶通过常微分方程的计算预见了海王星的存在． 随着科学的发展，常微分方程渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信 息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域，显示了其蓬勃的生机和活力．
常微分方程是数学相关专业的必修基础课，对先修课程( 数学分析和高等代数) 及后继课程( 数学物理方程、微分方程的数值解、微分几何、数学模型等) 起到了承前启后的作用．
2. 研究内容和预期目标
研究内容：1、一阶微分方程求通解问题：可化为变量分离方程的类型，根据方程系数分类讨论，通过适当的变量变换转化为齐次微分方程，进一步经变量变换后转化为变量分离方程求通解。伯努利微分方程通过变量变换转化 为线性微分方程求通解，而线性微分方程可以利用常数变易法及通过变量变换转化为变量分离方程，也可以通过积 分因子转化为恰当微分方程。一阶隐式微分方程须引进参 数变量，将原方程转化为导数已解出的方程类型，结合原方程的参数形式得到原方程的参数形式通解。2、高阶微分方程求通解问题通常采用这几种方法：求常系数齐次线性微分方程基本解组的欧拉待定指数函数法、 求常系数非齐次线性微分方程特解的比较系数法和拉普拉斯（Laplace）变换法、求一般非齐次线性微分方程特解的常数变易法、求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
拟解决的关键问题：常微分方程的基本求解方法在经济领域的应用。
3. 国内外研究现状
国内： 70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。命方程的解含有的任意元素作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。一阶常微分方程组可以求得通解的还是很少的。高阶方程中几乎只有少数二阶方程可以求得通解。现在人们已经不再将工作重心放在找通解上，转为研究自动微分。自动微分的理论研究主要在数学和计算机科学领域中进行，而它的应用范围则相当广泛。在物理、化学、力学、经济学、电子工程、化学工程、环境工程、电力工程、医学、生物医学、气象、航空航天等科学、工程和社会领域中，不同的研究人员根据各自领域的特点对自动微分进行了改造和应用，取得了大量有益的成果和经验。
国外：Peter Brown发表了一篇提高空间信息资源共享效率的论文，首先分析了分数阶常微分方程的数学特性。利用数值方法，对分数阶算子进行离散化和逼近，构造分数之间的线性微分方程。
4. 计划与进度安排
第七学期12-14周：收集常微分求解的相关资料，仔细研读加以归纳总结，深入了解常微分方程的典型求法，完成文献综述及开题报告。
第七学期15-18周：确定查阅文献资料，收集各种纸质，电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料，进行外文翻译。
寒假期间：全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，对常微分方程的典型解法做具体的分析，总结及相关经济应用，完成论文初稿。
5. 参考文献
[1] 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程[M].3版.北京:高等 教育出版社,2006.
[2] 丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M]. 2版.北京:北京大 学出版社,2004.
[3] 韩茂安,周盛凡,邢业朋,等. 常微分方程[M].2版.北京: 高等教育出社,2018.
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