1. 本选题研究的目的及意义
环论是代数学的核心分支之一，而环的扩张则是环论研究的重要内容。
通过将已知的环嵌入到更大的环中，我们可以更深入地理解原有环的结构，并发现新的数学对象和性质。
本选题的研究旨在探讨环的若干种重要扩张方式，分析它们的性质和应用，为进一步研究环论提供理论基础。
2. 本选题国内外研究状况综述
环论作为代数学的重要分支，一直受到国内外学者的广泛关注和研究。
1. 国内研究现状
国内学者在环论领域的研究起步相对较晚，但近年来取得了显著的进展。
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
1. 主要内容
本论文将从以下几个方面对环的若干扩张进行研究：
1.多项式环:介绍多项式环的构造过程，探讨其基本性质，例如理想结构、因子分解等，并讨论多项式环在代数方程论中的应用。
2.分式环:阐述分式环的定义和构造方法，研究其与整环的关系，并分析分式环在代数几何中的应用，例如函数域的构造。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用文献研究、理论分析、案例分析等方法，并结合数学软件进行辅助计算。
首先，将进行系统的文献调研，阅读相关领域的经典著作和最新研究成果，了解环扩张的国内外研究现状，为研究工作的开展奠定坚实的理论基础。
其次，将运用理论分析的方法，对环的几种重要扩张方式进行深入研究，包括多项式环、分式环、模扩张和群环等，分析它们的定义、性质、构造方法以及相互之间的联系。
5. 研究的创新点
本研究的创新点在于：
1.系统性:将对环的几种重要扩张方式进行系统研究，比较不同扩张方式之间的异同，并探讨它们之间的内在联系，形成一个较为完整的环扩张理论体系。
2.应用性:将注重环扩张理论与实际应用的结合，探讨其在代数编码、密码学等领域的应用，并尝试解决一些实际问题。
3.交叉性:将尝试将环扩张理论与其他数学分支，例如代数数论、代数几何等，进行交叉研究，以期发现新的研究方向和成果。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
7. 参考文献（20个中文5个英文）
[1] 刘冬梅, 贾晓峰. 环扩张的若干结果[J]. 西北师范大学学报(自然科学版), 2020, 56(05): 1-6.
[2] 刘冬梅, 李蕾. 环扩张的X-内部交换性[J]. 西北师范大学学报(自然科学版), 2021, 57(02): 11-16.
[3] 陈小伍, 黄兆泳. Ore扩张与局部Armendariz环[J]. 数学学报(中文版), 2017, 60(01): 159-170.
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