1. 研究目的与意义
泰勒公式是以 18 世纪早期英国数学家泰勒（Brook Taylor）命名。1708 年，23 岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。1717 年，泰勒以泰勒定理求解了数值方程。本质来讲，泰勒公式是将函数用多项式近似代替。简单来说，泰勒公式指的是用函数的某点信息来描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑，那么在函数某一点各阶导数值已知的情况下，采用泰勒公式，就能够利用这些导数值，成功建立一个多项式，从而来近似函数在这一点邻域中的值。具体而言，无论是细胞还是中子、原子，似乎只要对这些已经很微小的事物再次进行无限的细分，就能得到组成世界的统一基本单位，而泰勒公式提供了一种方法思路，主要目的就是将所有可导函数统一形式表达出来。泰勒公式是《数学分析》这门课的最基础最重要的内容，是将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的一个有力工具，是必须要牢固掌握的公式，是我们学习《数学分析》必备知识。由此可见，泰勒公式在我们的数学学习中有着十分重要的地位，研究泰勒公式及其应用也将对我们学习数学分析带来巨大的益处。
2. 研究内容和预期目标
本文以已有的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些应用做单独研究。
首先，给出基础的理论内容，如：泰勒公式的基本概念和证明，这些内容会在后续的研究中有所涉及；
然后，根据前面的基础理论内容，探讨泰勒公式在函数极限、敛散性、近似计算以及高阶导数中的应用；
3. 国内外研究现状
在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里一牛顿插值公式求极限而得到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒以函数的泰勒展开而闻名于后世。
国内外同类课题研究现状及发展趋势：泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果，例如：
1.天津中德职业技术学院的张雅琴在文章《泰勒公式应用的探讨》中着重论述了泰勒公式在近似计算、极限运算、级数与观后以及分的敛散性判断等方面的具体应用方法；
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关泰勒公式的相关知识，并阅读参考文献及课本；
第二阶段：2022.02-2022.03 整理有关泰勒公式的应用部分，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型；
5. 参考文献
[1]周敬人. 关于泰勒公式的应用探究[J]. 焦作大学学报,2020,34(04):95-97.
[2]智红燕,张丹青,张艳华,赵旭波. “泰勒公式”的导入与剖析[J]. 教育教学论坛,2021(01):125-128.
[3]杨磊. 泰勒公式在微分学中的应用[J]. 赤峰学院学报(自然科学版),2020,36(01):10-12.
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