1. 研究目的与意义
在描述生物竞争的Lotka-volterra模型以及与多组分Bose-Einstein 凝聚态相关的Gross-Pitaevskii方程组中，都涉及到一类奇异扰动非线性偏微分方程组. 在竞争参数趋于正无穷的奇异极限问题中, 解的支集相互分离, 这样就产生了一个自由边界问题. 许多数学工作者, 例如Caffarelli, 林芳华, Dancer, 和S. Terracini 等对此类问题作了大量的研究, 对它们的研究涉及偏微分方程、几何测度论、泛函分析等多个数学分支.本文拟研究一类带对流作用的强竞争椭圆系统解的渐近行为，拟将经典扩散问题的部分结果推广到带对流项的扩散模型。
2. 研究内容和预期目标
课题拟研究了一类带对流项的椭圆系统的渐近行为，强竞争作用下，系统解的支集相互分离。本文主要研究奇异极限问题中解的零点集的几何性质。拟解决的问题主要有：
1.零点集的Hausdorff维数估计
2.零点集的分类及正则性。
3. 国内外研究现状
近年来，随着生物医学工程领域的快速发展，运用数学、统计和计算方法对生物模型展开研究已极大地引起了人们的兴趣和关注，生物数学也因此成为应用数学领域较为活跃的研究方向之一.生物模型，如生物种群模型、流行病模型、趋化性模型等均是高度复杂的非线性系统，偏微分方程理论是研究这些非线性系统的重要的数学工具之一，大量的生物模型都可以用反应扩散方程(组)来刻画.通过建立和分析相应的反应扩散方程(组)，可以对生物衍化过程和相应的动力学行为作出科学的解释.
在生物种群模型方面，竞争种群的空间行为——共存或消亡，一直都是生态动力学研究的热点问题.特别是最近20余年，人们对强竞争导致的相分离现象表现出极大的兴趣，描述这一现象的数学模型涉及到一类奇异扰动的椭圆型或者抛物型方程组.这类方程组的解虽然是定义在整个固定区域上，但在竞争参数趋于正无穷的奇异极限中，解的不同分量分布在不同的区域，从而产生一个自由边界问题.这个自由边界问题也和到一个具有非正曲率的奇异度量空间的调和映射有关.许多数学工作者，例如Wolf 奖获得者美国德克萨斯大学的 L. A. Caffarelli 院士，Courrant 数学所的林芳华教授， 澳大利亚悉尼大学的 E. N. Dancer 院士，意大利米兰可比卡大学的 S. Terracini 教授，中国科学院的张志涛研究员，以及他的学生中科院武汉物理与数学研究所的王克磊副研究员等多人对这类问题进行了大量的研究，取得了丰硕的成果.4. 计划与进度安排
1．2022年12月前：搜集相关资料，完成开题报告；
2．2022年4月前：进一步搜集资料，广泛听取老师同学意见，完成初稿；
3．2022年4月30日前：完成论文修改、定稿、外文文献翻译工作，并检验是否符合查重标准；
5. 参考文献
[1] L. A. Caffarelli, A. L.Karahanyan, F. Lin, The geometry of solutions to a segregation problem fornon-divergence systems, J. Fixed Point Theory Appl., 5(2) (2009)319-351.
[2] L. A. Caffarelli, F. Lin,Singularly perturbed elliptic systems and muti-valued harmonic functions withfree boundaries, J. Amer. Math. Soc., 21(2008)847-862.
[3] L. A. Caffarelli, F. H. Lin,An optimal partition problem for eigenvalues, J. Sci. Comput., 31(2007)5-18.
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