1. 研究目的与意义
生物数学中描述多个物种竞争行为的生物竞争模型（如 Lotka-Volterra 竞争模型），涉及一类奇异扰动的椭圆型（或抛物型）方程组，在描述竞争程度的参数有限时，方程组的解会有一定程度的混合，但在参数趋于无穷的奇异极限中，解不同分量的支集相互分离，从而产生一个自由边界问题，这类问题，近年来得到国内外学者的广泛关注。
从数学上看，这类问题含有一个奇异扰动的非线性偏微分方程组，对它的研究涉及泛函分析、偏微分方程等多个分支。
本文围绕种群所处于的区域，考虑强竞争作用对种群空间行为的影响。
2. 研究内容和预期目标
本文拟考虑一类描述固定区域中种群竞争的Lotka-volterra型反应扩散方程组，我们假定种群的强竞争行为仅发生在某个子区域中，而在其余区域种群处于弱竞争状态。现有文献给出了系统解关于竞争参数的一致界估计，进而得到种群在强竞争区域的支集相互分离，产生一个自由边界问题。本文拟将这一结果进行改进，拟建立系统解关于竞争参数的一致Holder界估计。宜游 拟解决的关键问题主要有：
1、建立ACF型单调公式；
2、证明相应方程组的Liouville型定理；
3. 国内外研究现状
近年来，生态动力学中竞争种群的空间行为被许多学者广泛关注。经典的Lotka-volterra竞争模型常被用来描述多个物种在一固定区域中处于竞争状态的行为。一般情况下，它是由一个反应扩散方程组来描述，这一方程组（包括椭圆和抛物情形)非负解的存在性和稳定性研究由来已久，参见Dancer和杜一宏[1,2]，以及文[1,2]中的参考文献。 最近十余年，大家开始对具有强竞争系数的竞争系统表现了极大的兴趣，在k（竞争参数）充分大的时候，系统解的支集将会分离。当k趋于无穷时，奇异极限问题是一个自由边界问题。许多著名数学家，包括Caffarelli，林芳华，Dancer和S。Terracini对此类问题做了大量研究，在相关方面取得重要成果。特别的，已经得到如下结果：解关于竞争参数的一致界估计[3-7]，奇异极限的正则性，产生自由边界的正则性[3,8,9,10],以及极限统解的唯一性等[11,12]。 然而，在某些生态系统中，受环境、资源等因素影响，种群的强竞争作用仅发生在某个子区域中，而其余区域种群始终处于弱竞争相互作用。Dancer和Crooks在文[13]中考虑了一类混合竞争作用的椭圆系统（即强竞争作用发生子区域）解的空间结构，他们证明了解的相分离现象并给出奇异极限满足的方程。 本文拟将文[13]的结果进行推广，拟将[13]中的一致收敛性结果改进为Holder收敛。
4. 计划与进度安排
2022年1月15日（本学期结束）前：完成开题工作
2022年4月10日前：完成初稿和中期检查工作
2022年5月16日前：完成论文修改、定稿、外文文献翻译工作
5. 参考文献
[1]E.N.Dancer,Y.Du,positivesolutions for a three-species competition system with diffusion-Ⅰ.Generalexistence results,Nonlinear Analysis,24(3),(1995)337-357. [2]E.N.Dancer,Y.Du,positivesolutions for a three-species competition system with diffusion-Ⅱ.The case ofequal birth rates,Nolinear Analysis,24(3),(1995)359-373.[3]L.A.Caffarelli,A.L.Karakhanyan,F.H.Lin,The geometry of solutions to asegregation problem for non-divergence systems,J.Fixed Point TheoryAppl.,5(2009)319-351. [4]E.N.Dancer,D.Hilhorst,M.Mimura,L.A.Peletier,Spatialsegregation limit of a competition-diffusion system,EuropeanJ.Appl.Math.,10(1999)75-97. [5]M.conti,S.Terracini,G.Verzini,A variationalproblem for the spatial segregation of reaction diffusion systems,IndianaUniv.Math.J.,54(3)(2005)779-815. [6]M.conti,S.Terracini,G.Verzini,Asymptoticestimates for the spatial segregation of competitivesystems,.Adv.Math.,195(2)(2005)524-560. [7]E.N.Dancer,Kelei Wang,Zhitao Zhang,Uniform Holder estimate for singularly perturbed parabolic systems ofBose-Einstein condensates and competing species,J.DifferentialEquations251(2011)2737-2769. [8]L.A.Caffarelli,F.Lin,Singularly perturbedelliptic systems and muti-valued harmonic functions with freeboundaries,J.Amer.Math.Soc.,21(2008)847-862. [9]E.N.Dancer,Kelei Wang,ZhitaoZhang,The limit equation for the Gross-Pitaevskii equtions and S.Terracinisconjecture .Journal of Functional Analysis 262(2012)1087-1131. [10]Hugo Tavares,SusannaTerracini.Regularity of the nodal set of the segregated critical configurationunder a weak reflection law.Cale.Var.Partial DifferentialEquations,45(2012)273-317. [11]K.Wang,Z Zhang,Some new results in competingsystems with many species,Ann.I.H.Poincare,27(2010)739-761.[12]M.Conti,S.Terracini and G.Verzini,Uniqueness and least energy property forstrongly competing systems,Interfaces and Free Boundaries8(2006),437-446.[13]E.M.Crooks,E.N.Dancer,Competing system with strong interaction on a subdomain.TopologialMethods in Nonlinear Analysis,27(2011),37-53.[14]张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，北京大学出版社,1987.[15]陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，2015.
以上是毕业论文开题报告，课题毕业论文、任务书、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
