1. 研究目的与意义
向量函数是贯穿我们学习数学的整个过程的，是现代数学分析的基础，它不仅广泛应用数学理论，还可以解决实际的自然科学问题和经济方面的问题。
它从一维到多维，从实数域到向量空间，它的概念，性质是实值函数的推广，向量函数的导数以及连续性在数学研究的各个领域中起着非常重要的作用。
不动点定理能够证明隐函数和反函数的存在性，是微分方程、积分方程、代数方程的解的存在唯一性证明的有力工具。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：1、向量函数的概念、连续性、可导性、可微等性质的知识性整理。2、不动点定理概念以及在微分方程、代数方程、积分方程的存在唯一性、隐函数存在性证明中的运用。3、向量函数的反函数定理在次多项式中因式分解的作用，隐函数定理联系不动点定理在求极值、条件极值的运用。
关键问题：运用不动点定理证明隐函数存在性、代数方程、微分方程以及积分方程的解的存在唯一性。
写作提纲：
3. 国内外研究现状
国内外研究现状：Banach不动点原理是不动点定理的最重要的结果之一，1969年，Nadler推广了Banach不动点原理。将其从单值拓展到了集值映射上，证明了满足集值压缩映射的不动点定理，1972年，Reich又将其推广到函数，并证明了有关的不动点定理。1992年使用Picard迭代方法证实了Banach不动点原理，结果就解决的隐函数存在问题，微分方程的解的存在唯一性问题，在20世纪40年代，日本数学角谷运用不动点定理严格证明了一个方程式系统解的存在性，2012年，Wardowski 引进了一种新型压缩映射的概念，称之为F-压缩映射，推广了Banach不动点定理，现在许多学者对不动点定理很感兴趣,对不动点定理的推广及应用十分广泛。
4. 计划与进度安排
2022年12月9日前一完成开题工作；2022年1月20日前完成论文第一章向量函数的概念及连续性；2022年2月10日前完成论文第二章向量函数的可导性；2022年3月10日前完成论文第三章向量函数的不动点定理与向量函数的反函数定理和隐函数定理及其应用。 2022年3月17日前一完成初稿和中期检查工作；2022年5月5日前一完成论文修改、定稿、外文文献翻译工作；2022年5月31日前一完成答辩环节工作。
5. 参考文献
1]华东师范大学数学系． 数学分析( 第四版)［M］． 北京: 高等教育出版社，2010．
[2]沈雁，王玮． 关于向量值函数导数的若干结论［J］． 南京审计学院学报， 2004，1(4) : 99 ～ 100．
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