1. 研究目的与意义
黎曼积分和勒贝格积分是数学分析中和实变函数论中的重要内容.这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。
黎曼积分存在着较大的缺陷：黎曼积分是以“基本上”连续的函数为研究对象, 从而黎曼可积的函数太少；分与极限可交换的条件太苛刻，需用函数列的一致收敛条件来保证极限与积分运算的次序可交换。
在教材及参考书中,有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性,而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。
2. 研究内容和预期目标
研究内容及关键问题：
Riemann积分和Lebesgue积分在可积函数的连续性、积分极限定理、可积函数空间的完备性和微积分基本定理等方面的区别，比较得出Riemann积分的局限性和Lebesgue积分的优越性。
写作提纲：
3. 国内外研究现状
数学的发展表明，Riemann积分和Lebesgue积分在各自相应时期都发挥着巨大的作用。从狭义上看，Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的推广，同时Lebesgue积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，Lebesgue积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代。
4. 计划与进度安排
研究计划：
1.提交开题报告之后，进行资料收集，阅读学习国内外参考文献；
2.根据阅读的参考文献和数学刊物等，系统研究学习Riemann积分和Lebesgue积分基本定义，可积函数的连续性、积分极限定理、可积函数空间的完备性和微积分基本定理，两种积分的应用等问题，并归纳比较；
5. 参考文献
[1]程其襄等. 实变函数与泛函分析基础(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[2]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社，2000.
[3]周敏强. 实变函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2001.
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