1. 研究目的与意义
中国早在公元初《九章算术》中，就有对线性关系的记载。其中对线性方程组的研究和现在中学讲授线性方程组的解法大体相同，此方法的实质相当于对方程组的增广矩阵实行初等变换。对于不同类型的问题，需要不同的求解方法。本文主要讨论线性方程组、齐次线性微分方程组、齐次线性递归关系的解空间以及齐次方程与非齐次方程之间的关系。
线性方程组是代数学的核心问题，其求解问题是数值计算领域十分活跃的研究课题之一。大量的科学技术问题往往最终归结为线性方程组，可以说线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。
马克思曾说：“一门科学只有成功的应用数学时，才算达到了完善的地步。”而随着科技的进步，数学也渗入到各行各业，因而能强烈地感受到数学的重要。应用数学中用到了线性代数的相关知识，而其中线性关系及其应用尤为重要，本选题选取了线性关系中线性方程组解空间的求解及应用，希望借此解决一些问题。2. 研究内容和预期目标
本文研究的基本内容为：
一、引言部分，包括线性关系的背景，发展及若干应用
二、对三类方程组的概念理解、分析及举例
3. 国内外研究现状
| 线性关系这一研究课题，早有许多专家已经展开讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。自上世纪80年代以来，随着计算机应用的普及，线性关系被科学、技术和经济管理领域广泛应用。 目前，线性方程的实际背景广，应用性强的特点已受到广泛关注，许多国外的教材和国内的新教材已在书中明确强调这一点，并在教材中编入实际应用的例子，希望通过大量的实际应用的例子突出数学的应用，引导学生建立线性方程组解决各种实际问题。在编写教材时和教学过程中有意识的渗透数学思想，表明教学工作者教学观念、教学思想的改变，是时代进步的标志。 目前关于线性方程组的解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 |
4. 计划与进度安排
本课题的研究方法主要以查找资料，以现有的知识水平，在前人的研究基础上，采取了从大量阅读已有的数据资料，然后运用相关知识就线性关系及其应用做出个人总结。
本课题研究的计划安排为：
【1】11月26日-11月30日 进一步熟悉毕业论文资料，撰写开题报告
5. 参考文献
[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003
[2]同济大学数学系.线性代数#8194;[M].上海:高等教育出版社,2007
[3]李庆扬,王超能,易大义.数值分析#8194;[M].北京:清华大学出版,2008
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