1. 研究目的与意义
自1905年Einstein利用统计的观点建立扩散方程来揭示溶液中布朗运动悬浮粒子扩散规律以来，反应扩散方程的研究逐渐活跃，并成为偏微分方程的一个重要分支[1-2]。反应扩散方程（组）因被发现可以用来广泛地描述物理、生物、化学等众多学科中发生的自然现象（例如物理学科中的热传导；化学反应中的物质浓度变化，燃烧温度问题；自由边界问题；生物学中的物种入侵过程等，参见[3-9]等）而成为现代数学研究的重要内容。
本文拟研究一类强竞争模型，这类模型解的空间结构——包括共存或消亡，一直都是微分方程界研究的热点问题。特别是最近几年，人们对强相互作用导致的解的相分离现象以及产生的自由边界问题表现出极大的兴趣和关注[18-26,30]。算子在种群动力学、生态学等中有着广泛的应用[27-28]，研究这些问题可以对相应的种群活动做出科学的解释。
2. 研究内容和预期目标
本文拟对Crooks, Dancer, Hilhorst 和 Mimura[7],[9]的工作进行一个简单的推广. 注意到他们考虑的问题是自治的, 可以把两个方程直接相减化成一个方程, 因而奇异极限有简单的动力学行为. 我们拟将他们的结果推广到非自治情形，并改进收敛性。 拟解决问题：
1强相互作用下解的相分离现象，即证明当竞争参数趋于无穷是，解的支集相互分离，
2.改进已有文献[7],[9]中的收敛性，我们将利用blow-up分析证明系统解关于竞争参数的一致Holder界估计。
3. 国内外研究现状
经典的Lotka-Volterra型竞争模型描述若干个物种在一个固定的区域中，处于竞争状态下的行为。一般情况下，它是由一个反应扩散方程组来描述。与这个反应扩散方程组或其对应的椭圆系统相关的研究非常多，特别是最近十余年来大家对强竞争下（充分大）方程组解的空间结构等性质表现了极大的兴趣。Dancer, Hilhorst, Mimura和Peletier[7] 研究了的情形，他们证明当趋向正无穷时方程组的解在某种弱的意义下收敛到一个自由边界问题解的正部和负部，这就表明了奇异极限中方程组的解是空间分离的。对于多个种群（）的情形，Conti,Terracini和Verzini [20], [21]；Caffarelli, Karakhanyan和Lin [18],[19]；Dancer,Wang和Zhang [23], [24]等，证明了系统（1.1）（或对应椭圆系统）的解对参数的一致界估计，趋向正无穷时的极限方程解的正则性，并给出了自由边界的正则性，即自由边界去掉一个闭的Hausdorff维数为n-2的奇点集，是超曲面，。令人惊奇的是，极限时产生的自由边界问题具有变分结构，其解是到一个具有非正曲率的度量空间的调和映射，并且解是唯一的[22],[29]。
4. 计划与进度安排
1．第一阶段：完成选题工作；
2．第二阶段：完成开题工作；
3．第三阶段：完成初稿和中期检查工作；
5. 参考文献
[1] A. Einstein, Investigations on thetheory of Brownian movement,New York,1956.
[2] J. Vzquze, Nonlinear diffusion with fractional Laplacian operator, Nonlinear Partial Differential Equations (7) (2012) 271-298.
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