1. 研究目的与意义
微积分是近代数学的重要内容,是一种重要的数学思想,它以一种动态的思维看待问题,可以描述运动的事物,描述一种过程的变化;它促进了常微分方程、偏微分方程等的发展,是近代数学进一步发展和拓展的重要基础。微积分的建立推动了其它学科的发展,尤其是天文学,力学,光学,电学等自然学科;现在,我们更多的将微积分与经济学、金融学联系起来,通过微积分思想实现稀缺资源的有效分配和最大分配,满足我们的经济活动和生产需求。它拓宽了经济学的研究领域,并为经济学研究提供了科学的指导方法。
数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科,是数学的一个分支,它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象,为计算数学的主体部分。运用数值分析方法求解微积分的数值解法可以将微积分与计算机相结合,提高计算效率和计算的准确性,可以更好地利用MATLAB等工具来解决数学及其他学科中的实际问题。主要内容包括:插值法,函数逼近,曲线拟和,数值积分,数值微分,迭代法。
2. 研究内容和预期目标
一、研究内容:
研究微积分的若干数值解法,并对其正确性进行验证,给出有效论证,并用实际问题给出例证。主要研究内容:
1.微积分中的若干积分问题的数值解法。
3. 国内外研究现状
[1]微分代数方程是描述复杂工程系统的数学模型,它是由微分方程和代数方程组合而成的,这种方程广泛存在于电力系统、化学过程和刚柔多体动力学系统中。目前求解这类方程的数值算法很多,有增广法、零空间法和缩并法等,这些数值算法的共同特点,就是首先对代数方程进行处理,将系统转化为常微分方程后再数值计算。分数阶微积分是指函数对变量非整数阶求导或非整数阶积分,是古典微积分理论的推广。
[2]牛顿迭代法是求解非线性方程的一种常用方法,该法对初值要求较高,只具有局部收敛性。在牛顿迭代法的基础上,通过调整非线性方程对应曲线切线的斜率,从而保证在取任意初值时,迭代均可收敛,有效改善了牛顿迭代法对初值的苛刻要求。
[3]根据一元函数的Taylor公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taylor公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上。通过MATLAB仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。
4. 计划与进度安排
1.2022年11月9日:完成选题工作;2.2022年11月29日:完成开题工作;
3.2022年3月15日:完成初稿和中期检查工作;
4.2022年4月30日:完成论文修改、定稿、外文文献翻译工作;
5. 参考文献
[1]祁白羽. 浅谈高等数学中微积分的经济应用[A].北京中外软信息技术研究院.第四届世纪之星创新教育论坛论文集[C].北京中外软信息技术研究院:北京中外软信息技术研究院,2016:1.
[2]蔡清波.Matlab在数值分析课程教学中的应用[J].教育教学论坛,2018(41):177-179.
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