1. 研究目的与意义
不动点在数学中有着广泛的应用,其中与方程的联系甚密,数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等,种类繁多,形式各异.但是它们常能改写成f(x)=x的形状,这里x 是某个适当的空间Χ中的点,是从Χ到f(x)的一个映射或运动,把每一点x移到点f(x),方程f(x)=x的解恰好就是在这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点.于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题,使得原问题简化.本文主要通过研究各类不动点定理在微分、积分、代数等各类方程的应用从而将方程求解问题简化.
2. 研究内容和预期目标
研究内容:
先给出一些不动点定理,再就其中某一个定理做详细分析,最后讨论各定理在不同方程求解中的应用.
拟解决的关键问题:通过对一类不动点定理的研究分析方程解的存在性.
3. 国内外研究现状
不动点理论是产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论.它是20世纪一个格外引人注目的数学分支,当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果.不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得.该理论既是一个比较古老的问题,又是一个比较有新生命力的领域,它历史悠久,又是近现代一个发展较快的理论定理.不动点定理涉及数学分析、拓扑学、非线性分析等多种问题的研究,具有重要的理论价值.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩,半个世纪以来,其影响可以说遍及整个数学,关于不动点的研究也如雨后春笋般随之出现. 不动点的本质就是方程的根,但是对此的研究却相对较少.虽然在已有的研究论文中对不动点在代数方程、微分方程、积分方程求解中的应用有所涉及,但是所论述的内容都过于单一,不够完整.
4. 计划与进度安排
2022年11月 完成论文的选题申报并且通过审核;
2022年12月 完成开题报告的书写并通过审核,查阅相关文献资料并进行整理;
2022年3月 完成论文初稿;
5. 参考文献
[1]许绍元,程素玉. 具有Banach代数的锥b-度量空间上广义g-拟压缩映射的不动点定理及其应用[J]. 应用数学,2017,30(04):897-907.
[2]李娟. Banach不动点定理在数学分析中的应用[J]. 广东石油化工学院学报,2017,27(04):67-69.
[3]唐江花. Banach不动点定理的应用研究[J]. 湖南城市学院学报(自然科学版),2016,25(06):44-45.
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