1. 研究目的与意义
本人热爱泛函分析这门课程，且有继续从事泛函分析类研究的意愿，因此选择该课题。泛函分析中Banach空间是很重要的一类空间。Banach空间是定义了范数的空间，而范数是我们熟知的向量的模的推广，因此研究Banach空间有助于我们研究具体的空间，譬如n维欧式空间、闭区间[a,b]上全体连续函数的空间等。且可将Banach空间具体的性质应用到各符合定义的空间中去，譬如在Banach空间中进一步定义内积空间，我们有著名的Cauchy-Schwarz不等式，可以得出很多重要的结论。论文中将重点介绍Baire定理和共鸣定理及其应用，并应用共鸣定理讨论Fourier级数的收敛性等。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：1.Banach空间的相关性质；2.Baire定理及其证明；3.共鸣定理及其证明；4.Baire定理及共鸣定理的应用。
拟解决的关键问题：Baire定理及共鸣定理的应用。
写作提纲：1.介绍泛函分析研究现状；2.叙述Banach空间的性质：不动点定理、线性算子、等价范数定理等；3.叙述Baire定理并给予证明；4.叙述共鸣定理并利用等价范数定理给予证明；5.讨论Baire定理及共鸣定理的应用：Fourier级数的收敛性、Lax-Milgram定理等。
3. 国内外研究现状
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等数学分支中都有重要应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析目前包括以下分支：
软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
巴拿赫空间的几何结构，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
4. 计划与进度安排
Banach空间的性质中将简单介绍几类重要的Banach空间（包括内积空间）、最佳逼近问题、Minkowski泛函、不动点定理及开映像定理。
Baire定理表明任一完备度量空间都是第二纲集，该定理为开映像定理作了准备，因开映像定理中Tx是第二纲集的假设不可少，论文中将介绍这一部分。
共鸣定理又称一致有界定理，该定理表明算子族W点点有界可以推出算子族W一致有界。该定理通过等价范数定理得到证明，论文中将给出等价范数定理的证明。
5. 参考文献
[1] 夏道行，吴卓人，严绍宗，等.实变函数论与泛函分析.2版.北京：高等教育出版社，1985.
[2] 江泽坚，吴智泉.实变函数论.2版.北京：高等教育出版社，1994.
[3] 王声望，郑维行.实变函数与泛函分析概要.2版.北京：高等教育出版社，1992.
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